HTMLで下記のように「menu-open」クラスをつければ良い。

<li class="nav-item has-treeview menu-open">

っという話ではなく、HTML出力が終わってから、javascriptで開きたいという話です。

ドキュメント(Treeview Plugin | AdminLTE v3.2 Documentation)読んでメソッドを叩いて、出来上がり…って、あれ、メソッド無いのー？

ググっても見つからない。AdminLTEってマイナーなん？

仕方がないので、手動？で開くことにした。

<script>

jQuery($ => $('.nav > .nav-item.has-treeview:not(.menu-open) > .nav-treeview > .nav-item > .nav-link.active').each(function(){

    $(this).closest('.nav-item.has-treeview').addClass('menu-open').children('.nav-treeview').show();

}));

</script>

↑これを</body>タグの上に入れれば動くはず。
詳しい説明は、今はできませんorz...

【追記】treeviewウィジェットの最小構成が分かってなかった。ていうか今でもわか蘭けど。
↓なるべく最小構成に寄せてみたので、上記ので『動かねぇよ糞がっ！』となったヒトは試してみて

<script>

jQuery($ => $('[data-widget="treeview"] > .nav-item:not(.menu-open) > .nav-treeview > .nav-item > .nav-link.active').each(function(){

    $(this).closest('[data-widget="treeview"] > .nav-item').addClass('menu-open').children('.nav-treeview').show();

}));

</script>

これでも動かなかったら…ゴメンナサイm(_ _)m💦
藁をもすがる思いでやってみて動かなかった時ってイラッとしますよね(T_T)

でもね、ウチのような弱小閑散ブログに対し、過大な期待は禁物。「どーせ動かないんでしょ」くらいの気持ちでお試しいただくのが健康のためとご提言申し上げ奉り候。